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(Geometrische) Bedeutung der zweiten Ableitung
(Obere) Hessenbergmatrix
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1-Norm einer Matrix
1-Norm einer Matrix (maximale Spaltensumme)
1-Norm einer Matrix Beweis
2-Norm einer Diagonalmatrix
2-Norm einer Diagonalmatrix Beweis
Ableitung
Absolute und relative Konditionszahl
Adjungierte Matrix
Affin lineare Kontraktion
Algorithmus 1. : Berechnung mit Q
Algorithmus 2. : Berechnung mit Q
Algorithmus 2. : QR-Verfahren ohne Shifts
Algorithmus: Cholesky-Zerlegung
Algorithmus: Householder QR-Zerlegung
Algorithmus: Householder-Reduzierung auf Hessenberg-Form
Algorithmus: Klassisches Gram-Schmidt-Verfahren
Algorithmus: Levenberg-Marquardt-Verfahren
Algorithmus: Lösung von Ax = b mittels QR-Faktorisierung
Algorithmus: LU-Faktorisierung mit Pivotisierung
Algorithmus: LU-Zerlegung
Algorithmus: Modifiziertes Gram-Schmidt-Verfahren
Algorithmus: Potenziteration
Algorithmus: QR-Verfahren mit einfachen Shifts
Algorithmus: QR-Verfahren ohne Shifts
Algorithmus: Rayleigh-Quotient-Iteration
Algorithmus: Rückwärtssubstitution
Algorithmus: Simultane Iteration
Algorithmus: Vorwärtssubstitution
Allgemeine Matrixnormen
Analogon zu differenzierbaren Funktionen
Anwendung der 1-Norm
Aufwand der Verfahren im Vergleich
Banachscher Fixpunktsatz
Beispiel (Rezept zur Berechung einer SVD)
Beispiel Bildkompression
Beispiel Bildkompression 2
Beispiel Bildkompression 3
Beispiel Euklidische Norm
Beispiel Gaußsche Glockenkurve
Beispiel Grundlagen Normen
Beispiel Normalengleichung
Beispiel Tikhonov Regularisierung
Beispiel: Anwendung der QR-Zerlegung
Beispiel: CGS für zwei Vektoren
Beispiel: Charakteristisches Polynom
Beispiel: Das eindimensionale Newtonverfahren
Beispiel: Der Fall n=2
Beispiel: Differentiation rotationssymmetrischer Funktionen
Beispiel: Höhere Ableitungen
Beispiel: Kettenregel (1. Version)
Beispiel: Qualitative Taylorformel
Beispiel.png
Beispiel(1-Norm)
Beispiele differenzierbarer Funktionen
Beispiele für Stabilitäten
Beispiele für Taylorpolynome
Beispiele SVD
Bemerkung: Definitheitskriterium
Bemerkung: Definitheitskriterium 2.
Bemerkung: Definition: Die Taylor-Approximation
Bemerkung: Definition: Rayleigh-Quotient
Bemerkung: Differential
Bemerkung: Existenz der Cholesky-Zerlegung
Bemerkung: Floating Point Zahlen
Bemerkung: Frobenius Begleitmatrix eines Polynoms
Bemerkung: Gut und schlecht konditioniert
Bemerkung: Höhere Ableitungen
Bemerkung: Householder QR-Zerlegung
Bemerkung: Komplexität der LU-Zerlegung
Bemerkung: Kondition einer Matrix
Bemerkung: Kondition und Singulärwerte im singulären Fall
Bemerkung: Kondition und Singulärwerte in nicht singulären Fall
Bemerkung: Konvergenz von Levenberg-Marquardt
Bemerkung: Lemma: Householder-Transformation
Bemerkung: Lokale Konvergenz
Bemerkung: Machine Epsilon
Bemerkung: Permutationsmatrizen
Bemerkung: Projektionsmatrix
Bemerkung: QR-Faktorisierung
Bemerkung: Qualitative Taylorformel
Bemerkung: Rechenregeln für differenzierbare Funktionen
Bemerkung: Satz: Schur-Faktorisierung
Bemerkung: Schmiegequadrik
Bemerkung: Schur-Faktorisierung
Bemerkung: Skalarprodukt
Bemerkung:Differenzierbareit: Definition
Beobachtungen zu komplementären Matrizen
Berechnung einer Singulärwertzerlegung (SVD)
Beschleunigung des Verfahrens: Rayleigh-Quotienten-Iteration
Beweis der Beobachtungen zu komplementären Matrizen
Beweis Komplementäre Projektionsmatrix
Beweis Lösung des Ausgleichsproblems
Beweis Lösung des linearen Ausgleichsproblems
Beweis Orthogonale Projektion
Beweis Trivialer Nullraum
Beweis Trivialer Nullraum (SVD)
Beweis: Banachscher Fixpunktsatz
Beweis: Differenzierbarkeitskriterium
Beweis: Eindeutigkeit des Differentials
Beweis: Folgerung aus dem Mittelwertsatz
Beweis: Hilfslemma für den Beweis des Satzes von Schwarz
Beweis: Hinreichendes Kriterium
Beweis: Householder-Transformation
Beweis: Kettenregel (1. Version)
Beweis: Komplexität der Gram-Schmidt-Algorithmen
Beweis: Kondition der Berechnung b = Ax
Beweis: Kriterium für Kontraktionen
Beweis: Lemma: QR-Verfahren
Beweis: Lokal quadratische Konvergenz des Newtonverfahrens
Beweis: Lokal superlineare Konvergenz
Beweis: LU-Zerlegung mit Permutationsmatrizen
Beweis: Mittelwertsatz
Beweis: Multiplikatorenregel von Lagrange
Beweis: Notwendiges Kriterium für Extrema
Beweis: Optimierung in Trust-Region
Beweis: Potenzmethode (Inverse Iteration)
Beweis: Qualitative Taylorformel
Beweis: Rechenregeln für Differenzierbarkeit auf U
Beweis: Reduktionslemma
Beweis: Richtungsableitungen
Beweis: Rückwärtsstabilität der Lösung von Ax=b mittels QR-Faktorisierung
Beweis: Rückwärtsstabilität der Rückwärtssubstitution
Beweis: Rückwärtsstabilität der Subtraktion
Beweis: Satz: Schur-Faktorisierung
Beweis: Schrankensatz
Beweis: Schwarz
Bild der Einheitskugel
Bild einer Matrix
Bildraum
Bildraum Beweis
C1.png
C2.png
C3.png
C4.png
C5.png
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Cholesky-Faktorisierung
Cholesky-Faktorisierung: Herleitung
Cholesky-Zerlegung
Cologne-Dome-Grey.png
Darstellung des Differentials durch Richtungsableitungen
Das eindimensionale Newtonverfahren
Das Gram-Schmidt-Verfahren
Das klassische Gram-Schmidt-Verfahren
Das modifizierte Gram-Schmidt-Verfahren
Das Newtonverfahren
Das zweistufige Hessenberg-Verfahren:
Definitheitskriterium
Definition Orthogonale Projektion
Definition: Die Taylor-Approximation
Definition: Differentiale höherer Ordnung
Definition: Differenzierbareit
Definition: Floating Point Zahlen
Definition: Kondition einer Matrix
Definition: Rayleigh-Quotient
Definition: Schur-Faktorisierung
Definition: Stetig differenzierbar
Definitionen Differenzierbare Abbildungen
Definitionen Differenzierbare Funktionen
Definitionen Eigenwertprobleme
Definitionen Grundlagen
Definitionen Kondition und Stabilität
Definitionen Lineare Ausgleichsrechnung
Definitionen LU-Zerlegung
Definitionen Nichtlineare Gleichungen
Definitionen QR-Zerlegung
Definitionen Singulärwertzerlegung (SVD)
Diagonalisierbarkeit
Diagonalisierung hermitscher Matrizen
Die QR-Zerlegung
Die Singulärwertzerlegung in Matrixnotation
Die Taylor-Approximation
diffbare_abbildungen_multiplikatoren_niveaulinien.png
diffbare_funktionen_bsp_gradient.png
diffbare_funktionen_differential.png
Differential zweiter Ordnung
Differentiale höherer Ordnung
Differenzierbare Abbildungen
Differenzierbare Funktionen.
Differenzierbarkeit
Differenzierbarkeitskriterium
Differenzierbarkeitskriterium für Abbildungen
Differenzierbarkeitskriterium.
Draft of 'Algorithmus 1. : Berechnung mit Q'
Draft of 'Definitionen der Eigenwertprobleme'
Draft of 'Definitionen Differenzierbare Funktionen'
Draft of 'Multiplikatorenregel von Lagrange'
Draft of 'New Tiddler 1'
Draft of 'New Tiddler'
Eigenschaften induzierter Matrixnormen
Eigenschaften induzierter Matrixnormen Beweis
Eigenwert und Eigenvektor
Eigenwertapproximation durch Rayleigh-Quotient
Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwertprobleme
Eigenwertzerlegung
Eigenwertzerlegung in Matrixschreibweise
Ein Beispiel: Tangentialvektoren
Eindeutigkeit des Differentials
Einführung in die SVD
Einleitung
Einleitung Householder-Triangularisierung
Einleitung Lineare Ausgleichsrechnung
Einleitung Projektion mit orthonormaler Basis
Einleitung Singulärwertzerlegung
Einleitung Singulärwertzerlegung in Matrixnotation
Einleitung: Cholesky-Faktorisierung
Einleitung: Die QR-Zerlegung
Einleitung: Die Taylor-Approximation
Einleitung: Differentiale höherer Ordnung
Einleitung: Differenzierbare Abbildungen
Einleitung: Differenzierbare Funktionen
Einleitung: Differenzierbarkeitskriterium für Abbildungen
Einleitung: Extrema unter Nebenbedingungen
Einleitung: Floating Point Arithmetik
Einleitung: Hauptkriterium für Differenzierbarkeit
Einleitung: Hessenberg: Zweistufiges Verfahren
Einleitung: Iterationsverfahren
Einleitung: Kondition
Einleitung: Kondition einer Matrix
Einleitung: LU-Faktorisierung (Gauß-Elimination)
Einleitung: LU-Faktorisierung (mit Pivotisierung)
Einleitung: LU-Faktorisierung (ohne Pivotisierung)
Einleitung: Nichtlineare Ausgleichsprobleme
Einleitung: Nichtlineare Gleichungen
Einleitung: Nullstellenbestimmung reeller Funktionen
Einleitung: Orthogonalität von Gradient und Nullmenge
Einleitung: Potenziteration (Power Iteration)
Einleitung: QR-Verfahren
Einleitung: Rayleigh-Quotient
Einleitung: Rayleigh-Quotient-Iteration
Einleitung: Stabilität
Einschub: Vorwärts- und Rückwärtssubstitution
Einzelschrittverfahren (alias Gauß-Seidel-Verfahren)
Ergänzung zum Reduktionslemma
Existenz der Cholesky-Zerlegung
Existenz der Singulärwertzerlegung
Extrema unter Nebenbedingungen
Exzentrizität.png
Floating Point Arithmetik
Folgerung aus dem Mittelwertsatz
Frobenius Begleitmatrix
Funktionalmatrix
Funktionalmatrix und Richtungsableitungen
Genauigkeit der Lösung
Geometrische Anschauung
Geometrische Anschauung der Komplexität
Gesamtschrittverfahren (alias Jacobi-Verfahren)
Gleichungssysteme iterativ lösen
Grad2-R-0,00.png
Grad2-R-0,05.png
Grad3-R-0,00.png
Grad3-R-0,05.png
Grad5-R-0,00.png
Grad5-R-0,05.png
Gradient
Gradient (Standardskalarprodukt)
Gradient des Rayleigh-Quotienten
Gradient einer rotationssymmetrischen Funktionen
Gram-Schmidt als Dreiecksorthonormalisierung
Gram-Schmidt-Verfahren in Matrixschreibweise
Grundlagen
Hauptkriterium für Differenzierbarkeit
Hesse-Matrix
Hessenberg: Zweistufiges Verfahren
Hessenbergverfahrens
Hilfslemma für den Beweis des Satzes von Schwarz
Hinreichende Bedingung
Hinreichendes Kriterium
Höhere Ableitungen
Hölder-Ungleichung
Hölder-Ungleichung Beweis
Householder QR-Zerlegung
Householder-Spiegelungen
Householder-Transformation
Householder-Triangularisierung
Idee der Householder-Transformation
Induzierte Matrixnorm
Inhaltsverzeichnis
Initialisierung des Newtonverfahrens
Invarianz des Skalarprodukts
Invarianz des Skalarprodukts Beweis
Inverse Iteration (Iteration der Potenzmethode)
Invertierbar
Iterationsverfahren
Iterationsverfahren zur Berechnung der ν-ten Wurzel einer Zahl:
Iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme
Julia_set_for_the_rational_function.png
k-mal stetig differenzierbar
k-mal stetig differenzierbare Abbildungen
Kettenregel
Kettenregel (1. Version)
Klassisches Gram-Schmidt-Verfahren
Komplementäre Projektionsmatrix
Komplexität der Cholesky-Zerlegung
Komplexität der Gram-Schmidt-Algorithmen
Komplexität der Householder-Faktorisierung
Komplexität der LU-Zerlegung
Komplexität des Hessenbergverfahrens
Komponenten eines Vektors
Kondition
Kondition der Berechnung b = Ax
Kondition einer Matrix
Kondition eines Gleichungssystems
Kondition und Stabilität
Kontraktionen
Konvergenz der Potenziteration
Konvergenz der Rayleigh-Quotient-Iteration
Konvergenz des QR-Verfahrens
Konvergenz von Levenberg-Marquardt
Konvergenzbegriffe
Konvergenzgeschwindigkeit
Konvergenzgeschwindigkeit einer Folge
Konvergenzordnung
Konvergenzordnung p=2 (quadratische Konvergenz)
Korollar Differenzierbare Abbildungen
Korollar Differenzierbare Funktionen
Korollar Singulärwertzerlegung
Kriterium für Kontraktionen
Lemma Differenzierbare Abbildungen
Lemma Differenzierbare Funktionen
Lemma Eigenwertprobleme
Lemma Grundlagen
Lemma Lineare Ausgleichsrechnung
Lemma LU-Zerlegung
Lemma QR-Zerlegung
Lemma: Householder-Transformation
Lemma: QR-Verfahren
LinApprox-Daten.png
LinApprox-Gerade.png
linaus_ausgleich-degree-0.png
linaus_ausgleich-degree-1.png
linaus_ausgleich-degree-2.png
linaus_ausgleich-degree-3.png
linaus_ausgleich-degree-4.png
linaus_ausgleich-degree-5.png
linaus_ausgleich-tkv-1-degree-1.png
linaus_ausgleich-tkv-1-degree-3.png
linaus_ausgleich-tkv-1-degree-5.png
linaus_ausgleich-tkv-5-degree-1.png
linaus_ausgleich-tkv-5-degree-3.png
linaus_ausgleich-tkv-5-degree-5.png
linaus_ausgleichsgerade-1.png
linaus_ausgleichsgerade.png
Lineare Ausgleichsrechnung
Lineares Ausgleichsproblem
Lokal quadratische Konvergenz des Newtonverfahrens
Lokal superlineare Konvergenz
Lokale Extrema
Lokale Konvergenz
Lokale Konvergenz der Fixpunktiteration
Lokale Minima und Maxima
Lösung des Ausgleichsproblems
Lösung des linearen Ausgleichsproblems
LU-Faktorisierung (Gauß-Elimination)
LU-Faktorisierung (mit Pivotisierung)
LU-Faktorisierung (ohne Pivotisierung)
LU-Zerlegung
LU-Zerlegung mit Permutationsmatrizen
Matrix Approximation Eckart-Young Theorem
Matrix Approximation Spektralnorm
Matrixdarstellung selbstadjungierter Endomorphismen
Maximalitätseigenschaft
Minimierung mit Methoden der Differentialrechnung
Mittelwertsatz
Modellierung der Rechenarithmetik
Modifiziertes Gram-Schmidt-Verfahren
Multiplikatorenregel von Lagrange
Nichtlineare Ausgleichsprobleme
Nichtlineare Gleichungen
Niveaulinien
Norm
Normen
Notwendiges Kriterium für Extrema
Nullraum (Kern)
Nullstellenbestimmung reeller Funktionen
Optimierung in Trust-Region
Orthogonale Projektionen
Orthogonale Vektoren
Orthogonale Vektoren Beispiel
Orthogonalität von Gradient und Nullmenge
p-Norm (Vektoren)
Partielle Ableitungen
Permutationsmatrizen
Potenziteration (Power Iteration)
Potenzmethode (Inverse Iteration)
Problem der Eigenwertberechnung
Problem der Vorwärtsanalyse
Produkt von Inverser Matrix und Vektor
Produkt von Inverser Matrix und Vektoren.png
Projektion mit orthonormaler Basis
Projektionsmatrix
Projektoren und Projektionsmatrizen
Pseudoinverse
Punkt mit minimalem Abstand zu (1,0,0)
qr_bsp_cgs.png
qr_bsp_klassisches_gs.png
qr_geom_anschaauung_householder.png
qr_geom_anschauung2.jpeg
qr_geom_anschauung3.jpeg
qr_gs_komplexitaet.png
qr_orthogonale_projektion.png
qr_projektion_mit_orthonormaler_basis.png
qr_projektion.png
qr_vollstaendige_qr-zerlegung.png
QR-Faktorisierung
QR-Verfahren
QR-Zerlegung
QR-Zerlegung und Householder-Transformation
Qualitative Taylorformel
Rang einer Matrix
Rationale Funktionen
Rayleigh-Quotient
Rayleigh-Quotient-Iteration
Rayleigh-Quotient-Iteration.png
Rechenregeln für differenzierbare Funktionen
Rechenregeln für Differenzierbarkeit auf U
Reconstruction1.png
Reconstruction2.png
Reconstruction3.png
Reconstruction4.png
Reconstruction5.png
Reconstruction50.png
Reduktionslemma
Reduzierte QR-Faktorisierung
Richtungsableitungen
Richtungsableitungen.
Risiduum
Rückwärtsanalyse
Rückwärtsstabilität
Rückwärtsstabilität der Householder-Triangularisierung
Rückwärtsstabilität der Lösung von Ax=b mittels QR-Faktorisierung
Rückwärtsstabilität der Rückwärtssubstitution
Rückwärtsstabilität der Subtraktion
Rückwärtsstabilität des Produkts Q*b
Satz: Lokal quadratische Konvergenz des Newtonverfahrens.
Satz: Schur-Faktorisierung
Sätze Differenzierbare Abbildungen
Sätze Differenzierbare Funktionen
Sätze Eigenwertprobleme
Sätze Grundlagen
Sätze Kondition und Stabilität
Sätze Lineare Ausgleichsrechnung
Sätze LU-Zerlegung
Sätze Nichtlineare Ausgleichsprobleme
Sätze Nichtlineare Gleichungen
Sätze QR-Zerlegung
Sätze Singulärwertzerlegung
Schmiegequadrik
Schrankensatz
Schur-Faktorisierung
Schwarz
Selbstadjungierter Endomorphismus
Simultane Iteration und QR-Verfahren ohne Shifts
Singulärwertzerlegung
Singulärwertzerlegung (SVD)
Singulärwertzerlegung und Lineare Ausgleichsrechnung
Skalarprodukt
Spektralsatz
Spezialfall: Rang-1-Projektion
Stabilität
Stabilität des Hessenbergverfahren
Stationarität
stetig differenzierbar
Stetigkeit differenzierbarer Funktionen
Stetigkeitstest
svd_ellipse.png
svd_graph_darstellung.png
svd-matrix.png
Tangentialhyperebene
Taylorformel (mit Rest)
Taylorreihen
Theorem Orthogonale Projektion
Theoreme Differenzierbare Abbildungen
Theoreme Differenzierbare Funktionen
Theoreme Eigenwertprobleme
Theoreme Grundlagen
Theoreme Kondition und Stabilität
Theoreme LU-Zerlegung
Theoreme QR-Zerlegung
Theoreme Singulärwertzerlegung
Tikhonov Regularisierung
Tikhonov Regularisierung Normalengleichung
Trivialer Nullraum
Trivialer Nullraum (SVD)
Übersicht: Algorithmen
Übersicht: Definitionen
Übersicht: Korollar
Übersicht: Lemma
Übersicht: Sätze
Übersicht: Theorem
Übersicht: Vorlesungsreihe
Umformulierung mittels Rest
Unendlich-Norm einer Matrix
Unendlich-Norm einer Matrix (max. Zeilensumme)
Unitäre Matrizen
Unitäres Skalarprodukt und unitärer Vektorraum
Unterschiede zwischen SVD und Eigenwertzerlegung
Vektoren in einer orthogonalen Menge
Vektoren in einer orthogonalen Menge Beweis
Vektoren und Matrizen
Vektoren und Matrizen Beispiel
Vektoren und Matrizen Interpretation
Vektorräume
Vergleich von klassischem und modifiziertem GS-Verfahren
Vertiefung
Vertiefung des Householder-Verfahrens
Vertiefung: QR-Verfahrens
Von der Potenziteration zur Potenzmethode:
Vorwärtsstabilität
Zusammenfassung: QR-Verfahren mit und ohne Shifts
Zusammenfassung: Singulärwertzerlegung und Eigenwertzerlegung im Vergleich